TecNoceMáticos: Demostración del Teorema de Euclides

lunes, 30 de julio de 2012

Demostración del Teorema de Euclides

De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de su vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.

Euclides determino que:

a y b: catetos

c : hipotenusa

p y q: proyecciones de los catetos a y b respectivamente.

Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.

El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y h es la altura.

Referente a la altura: En todo triangulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa

Referente a los catetos: en todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Esto se puede dar ya que:

∆ACB ~ ∆CDB, con esto podemos afirmar que:

∆ACB ~ ∆ADC, con esto podemos afirmar que:

∆ADC ~ ∆CDB, con esto podemos afirmar que:

Además:

Esto se podría demostrar de esta otra forma:

Recordemos:

Aplicando el teorema de Pitágoras al ∆CDB y ∆ADC podemos obtener:

Como el ∆ACB es un triangulo rectángulo se puede dar que:

por Pitágoras, por tanto:

Recordando que c = q + p se puede deducir lo siguiente:

En palabras el teorema de Euclides dice que sus catetos al cuadrado son igual a la proyección de cada cateto por la hipotenusa y donde su altura es igual a la multiplicación de sus proyecciones.

Veamos ahora el siguiente video publicado por Edgard Cárcamo que encontramos en la red: